IEEE 754标准中的十进制浮点数#1：存储编码

似乎关于IEEE 754标准中十进制浮点数的中文资料不多，所以写了这篇。

---

什么是十进制浮点数

十进制浮点数（Decimal floating-point，DFP）是指以10为底数的浮点数表示法，主要解决的是二进制浮点数（Binary floating-point，BFP，常见的浮点数，底数为2）存在的精度问题（例如在财务计算等场景下，使用二进制浮点数经常无法满足需求）。

关于IEEE的十进制浮点数的一些历史。

• IEEE 854中规范引入了十进制浮点数，但其标准不够完善，缺少对用来和其他系统交换的数据编码方式的规定。
• IEEE 754-2008（IEEE浮点运算标准，此为2008年发布的修订版）中合并了IEEE 854中对十进制浮点数的规范，并且补全了之前的缺陷。ISO/IEC/IEEE 60559:2011标准与此标准内容相同。
• IEEE 754-2019是现行有效的修订版本，相关的修改不是很多。

编码

和二进制浮点数相似，也有符号（Sign）、阶码（Exponent，指数）和尾数（Coefficient）三个部分。但不同点是它不一定都是规格化（Normalized）的，即尾数的最高位不一定是1，所以一些数值可以有多种表示方法，例如1×10²＝0.1×10³；而且多了一个组合位（Combination field），用来扩展阶码和尾数的范围以提高存储空间利用率；剩下的“剩余位”，就是组合位组合剩下的（参见“具体规则”一节的“编码规则”小节）。

DFP的存储格式：

长度	符号位	组合位	阶码剩余位（e）	尾数剩余位（m）
32位（Decimal32）	1	5	6	20
64位（Decimal64）			8	50
128位（Decimal128）			12	110
32k位（Decimal32k）			2k+4	30k-10

DFP的数据范围：

长度	尾数长度（十进制的数字位数）（p）		指数范围（从0到x）	数据最大值（Emax）	归一化后的数据最小值（Emin）	数据最小非零值（Etiny）
32位	7		192	96	-95	-101
64位	16		768	384	-383	-398
128位	34		12288	6144	-6143	-6176
32k位	(3t)/10+1	或者9k-2	3×2e=48×4k	3×2e-1	1-Emax	2-p-Emax

为了描述的简洁，后续的介绍中会引用表中的字母来代指对应的数据，对照如下：

• e：阶码剩余位的长度
• m：尾数剩余位的长度
• p：尾数以十进制表示的数字位数
• x：指数的最大取值

有效数字的两种不同编码方式

这两种不同的编码方式都可以用于编码阶码和尾数，且不论用哪种方式都不影响编码规则（数据范围相同）。

• 二进制整数编码的有效位（Binary integer significand field，BIS或BID）
  • 它使用二进制整数（取值在0到(10p-1)之间）来编码有效数字。
  • 适合于在原本用于处理二进制的算数逻辑单元（ALU）上用软件实现DFP。
• 紧凑十进制编码的有效位（Densely packed decimal significand field）
  • 紧凑十进制编码（Densely packed decimal，DPD）能更好地编码十进制数字，可以加快与二进制浮点数的相互转换。
  • 需要专用的ALU来提高效率，适合用硬件实现的DFP。
  • DPD编码是一种效率较高的BCD编码，但其细节不属于本文的内容，可以参考它的维基百科页面（本文的引用[3]）。

具体规则

对阶码和尾数的约束

阶码最多(2+e)位，最高2位二进制只能取00、01、10。

尾数最多(4+m)位，最高4位二进制只允许0000~1001（即十进制的0~9）。

编码规则

符号位的定义和二进制浮点数中的相同，0表示正数，1表示负数。

当尾数的最高4位是0000~0111（即十进制的0~7）时，省略最高位相同的0，此时组合位前两位是阶码最高2位的三种取值，后三位是尾数剩下的000~111。

当尾数的最高4位是1000~1001（即十进制的8或9）时，省略最高3位相同的100，此时组合位的前两位是11，再往后两位是阶码最高2位的三种取值，最后一位是尾数剩下的0或者1。

余下的e位阶码和m位尾数分别存入阶码剩余位和尾数剩余位。

如果阶码或尾数的编码结果长度n不足以填充所有位时——即长度小于(2+e)或者(4+m)，则先填满组合位，剩下的(e-n)或者(m-n)位在左侧补0。

特殊值的表示

正负无穷（±∞）：组合位是11110，符号位表示正负。

静默NaN（Quiet NaN，QNaN）：组合位为11111，阶码剩余位的最高位是0。

信号NaN（Signaling NaN，SNaN）：组合位为11111，阶码剩余位的最高位是1。

对于这两种NaN，没有提到的所有位都会被忽略，因此初始化数组为NaN可以通过简单地把内存区域全部填充为某个字节来实现（例如全部填充0x7E=(0111 1110)_b，会被解码为SNaN）。

这两种NaN的主要区别是QNaN用于表示计算无效，例如0/0等，它会静默传播，参与的所有运算结果都为QNaN；而SNaN用于快速失败（Fail-fast），在使用时产生异常。

参考资料

1. IEEE Standards Association. IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic: IEEE Std 754-2019[S]. New York: IEEE, 2019-07-22. ISBN: 978-1-5044-5924-2. DOI: 10.1109/IEEESTD.2019.8766229. ICS Code: 07.020, 35.080. Available at: https://ieeexplore.ieee.org/servlet/opac?punumber=8766227.
2. Wikipedia contributors. Decimal floating point[EB/OL]. Wikipedia, The Free Encyclopedia. [2024-09-24]. [2024-11-16]. Available at: https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Decimal_floating_point&oldid=1247444055.
3. Wikipedia contributors. Densely packed decimal[EB/OL]. Wikipedia, The Free Encyclopedia. [2024-06-30]. [2024-11-18]. Available at: https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Densely_packed_decimal&oldid=1237650875.